matris çarpımı ne demek?

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, (matrisin "boyutu" olarak adlandırılır) ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Vektörler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de, nokta çarpım yapılabilir. Bu işlem, matrisin her bir girişinin (ögesinin) aynı sayı (skaler) ile çarpılmasıdır. Matrislerin toplanması veya çıkarılması işlemleri de benzer şekilde yapılır.

Matris çarpımı başka yöntemlerle de yapılabilir. Fakat en kullanışlı yöntemler, doğrusal denklemler ve doğrusal dönüşümlerle elde edilir. Sayısal uygulamaları, uygulamalı matematik, fizik ve mühendislikte görülür.

Tanım

Skaler çarpma

Matrislerle ilgili en basit çarpma formu skaler çarpmadır.

Bir matrisinin skaleri ile sol skaler çarpma işlemi sonucunda ile aynı boyutlu fakat farklı bir matris elde edilir. Bu çarpma işlemi, aşağıdaki şekilde ifade edilir;

$$(\lambda \mathbf{A}){ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right){ij},,$$

Daha açık ifade ile:

$$\lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \ \lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \ \end{pmatrix},.$$

Benzer şekilde, bir matrisinin skaleri ile sağ skaler çarpma işlemi şöyledir:

$$(\mathbf{A}\lambda){ij} = \left(\mathbf{A}\right){ij} \lambda,,$$

Daha açık ifade ile:

$$\mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \ \end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix} A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda \ A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \ \end{pmatrix},.$$

halkada eğer bir değişme özelliği varsa, örneğin; reel veya karmaşık sayılarda bu iki çarpım (skaler çarpım ve nokta çarpım), aynı anlama gelir ve basitçe skaler çarpım olarak adlandırılır. Fakat matrisler için, daha genel ifade ile halka (örneğin dördey) için değişme özelliği yoksa bu iki çarpım aynı anlama gelmez. Bir reel skaler ve matris şöyle olsun:

$$\lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix}$$

$$2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 !\cdot! a & 2 !\cdot! b \ 2 !\cdot! c & 2 !\cdot! d \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a !\cdot! 2 & b !\cdot! 2 \ c !\cdot! 2 & d !\cdot! 2 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.$$

Dördeyin skalerleri ve matrisleri de şöyle olsun:

$$\lambda = i, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & j \ \end{pmatrix}$$

$$i\begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & j \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i^2 & 0 \ 0 & ij \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & k \ \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -k \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i^2 & 0 \ 0 & ji \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & j \ \end{pmatrix}i,,$$

Burada , dördeyin birimleridir. Dördeyde çarpma işleminin değişmeli olamaması, +k}} ile −k}} değişiminin yapılmasını engeller.

Matris çarpma (iki matris)

İki matrisin çarpılacağını varsayalım.

Matris çarpmanın genel tanımı

Eğer , boyutlu bir matris ve , boyutlu bir matris ise;

$$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \ \end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mp} \ \end{pmatrix}$$

matris çarpma (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir), matrisi olarak ifade edilir.

$$\mathbf{A}\mathbf{B} =\begin{pmatrix} \left(\mathbf{AB}\right){11} & \left(\mathbf{AB}\right){12} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right){1p} \ \left(\mathbf{AB}\right){21} & \left(\mathbf{AB}\right){22} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right){2p} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \left(\mathbf{AB}\right){n1} & \left(\mathbf{AB}\right){n2} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{np} \ \end{pmatrix}$$

Burada her bir girişi, girişleri matrisinin satırı) ile girişleri ( matrisinin sütunu) çarpımıdır. 1, 2, ..., m}} ve, sonuçlar toplamı şöyle ifade edilir:

$$(\mathbf{A}\mathbf{B}){ij} = \sum{k=1}^m A_{ik}B_{kj},.$$

Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. (Blok matrise bakınız).

Şekilsel gösterim

Sağdaki şekil, ve iki matrisinin çarpımını şematik olarak gösteriyor. Sonuçta elde edilen matris 4'e 3'lük matrisi olsun.

$$\overset{4\times 2 \text{ matris}}{\begin{bmatrix} {\color{Brown}{a_{11}}} & {\color{Brown}{a_{12}}} \ \cdot & \cdot \ {\color{Orange}{a_{31}}} & {\color{Orange}{a_{32}}} \ \cdot & \cdot \ \end{bmatrix}}

\overset{2\times 3\text{ matris}}{\begin{bmatrix} \cdot & {\color{Plum}{b_{12}}} & {\color{Violet}{b_{13}}} \ \cdot & {\color{Plum}{b_{22}}} & {\color{Violet}{b_{23}}} \ \end{bmatrix}}

= \overset{4\times 3\text{ matris}}{\begin{bmatrix} \cdot & x_{12} & x_{13} \ \cdot & \cdot & \cdot \ \cdot & x_{32} & x_{33} \ \cdot & \cdot & \cdot \ \end{bmatrix}}$$

Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:

$$\begin{align} x_{12} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \ x_{13} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Violet}{b_{23}}} \ x_{32} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \ x_{33} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Violet}{b_{23}}} \end{align}$$

Yukarıdakiler, matrisinin belirlenen girişleridir.

Matris çarpmaya örnekler

Satır vektör ve sütun vektör

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix},, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix},,$$

Burada matris çarpma işlemi şöyle:

$$\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = ax + by + cz ,,$$

Benzer şekilde;

$$\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xa & xb & xc \ ya & yb & yc \ za & zb & zc \end{pmatrix} ,.$$

ile nın çok farklı matrisler olduğuna dikkat edin. İlk matris boyutlu matris iken, ikincisi boyutlu matristir.

Kare matris ve sütun vektörü

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \ p & q & r \ u & v & w \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix},,$$

Burada matris çarpma işlemi şöyle:

$$\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} a & b & c \ p & q & r \ u & v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ax + by + cz \ px + qy + rz \ ux + vy + wz \end{pmatrix},,$$

Bu örnekte tanımlı değildir.

Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.

Kare matrisler

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \ p & q & r \ u & v & w \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \lambda & \mu & \nu \ \rho & \sigma & \tau \ \end{pmatrix},,$$

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

$$\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} a & b & c \ p & q & r \ u & v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \lambda & \mu & \nu \ \rho & \sigma & \tau \ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \ p\alpha + q\lambda + r\rho & p\beta + q\mu + r\sigma & p\gamma + q\nu + r\tau \ u\alpha + v\lambda + w\rho & u\beta + v\mu + w\sigma & u\gamma + v\nu + w\tau \end{pmatrix},,$$

Benzer şekilde;

$$\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \lambda & \mu & \nu \ \rho & \sigma & \tau \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \ p & q & r \ u & v & w \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha a + \beta p + \gamma u & \alpha b + \beta q + \gamma v & \alpha c + \beta r + \gamma w \ \lambda a + \mu p + \nu u & \lambda b + \mu q + \nu v & \lambda c + \mu r + \nu w \ \rho a + \sigma p + \tau u & \rho b + \sigma q + \tau v & \rho c + \sigma r + \tau w \end{pmatrix},.$$

Bu durumda hem hem de matrisi tanımlıdır. Fakat ile matrisinin girişleri çoğunlukla eşit değildir.

Satır vektör, kare matris ve sütun vektör

Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix},, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \lambda & \mu & \nu \ \rho & \sigma & \tau \ \end{pmatrix},, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix},,$$

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

$$\begin{align} \mathbf{ABC} & = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \lambda & \mu & \nu \ \rho & \sigma & \tau \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \lambda & \mu & \nu \ \rho & \sigma & \tau \ \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} \ & = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha x + \beta y + \gamma z \ \lambda x + \mu y + \nu z \ \rho x + \sigma y + \tau z \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\ & = a\alpha x + b\lambda x + c\rho x + a\beta y + b\mu y + c\sigma y + a\gamma z + b\nu z + c\tau z ,,\end{align}$$

Bu durumda tanımlı değildir. (AB)C}} olduğuna dikkat edin. Bu çok genel özelliklerden biridir.

Dikdörtgen matris

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \ x & y & z \end{pmatrix},, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \alpha & \rho \ \beta & \sigma \ \gamma & \tau \ \end{pmatrix},,$$

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

$$\mathbf{A}\mathbf{B} = \begin{pmatrix} a & b & c \ x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \rho \ \beta & \sigma \ \gamma & \tau \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\alpha + b\beta + c \gamma & a\rho + b\sigma + c \tau \ x\alpha + y\beta + z \gamma & x\rho + y\sigma + z \tau \ \end{pmatrix} ,,$$

Benzer şekilde;

$$\mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \alpha & \rho \ \beta & \sigma \ \gamma & \tau \ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c \ x & y & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha a + \rho x & \alpha b + \rho y & \alpha c + \rho z \ \beta a + \sigma x & \beta b + \sigma y & \beta c + \sigma z \ \gamma a + \tau x & \gamma b + \tau y & \gamma c + \tau z \end{pmatrix} ,.$$

Matris çarpmanın özellikleri

Tüm matrisler

1. Değişme özelliği yoktur:

Genellikle:

$$\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}$$ Çünkü ile , eşzamanlı olarak tanımlanamazlar. Tanımlansalar bile eşit olamazlar. Bu, sayıların çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için; nın ile "ön çarpımı (veya sol çarpımı)" olurken, " nın ile son çarpımı (veya sağ çarpımı) " olur. Matrisin tüm girişleri bir birime sahip halkada bulunduğu ve olduğu müddetçe, halkada bir çift değiştirilemez matris olur. Buna tek istisna birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.

Dizi gösterimi:

$$\sum_k A_{ik}B_{kj} \neq \sum_k B_{ik}A_{kj}$$

2. Matrisin toplama üzerine dağılma özelliği vardır:

Sol dağılım:

$$\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}$$

Sağ dağılım:

$$(\mathbf{A} + \mathbf{B} )\mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}$$

Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:

$$\sum_k A_{ik}(B_{kj} + C_{kj}) = \sum_k A_{ik}B_{kj} + \sum_k A_{ik}C_{kj}$$

$$\sum_k (A_{ik} + B_{ik}) C_{kj} = \sum_k A_{ik}C_{kj} + \sum_k B_{ik}C_{kj}$$

3. Skaler çarpma, matris çarpımı ile uyumludur:

$$\lambda(\mathbf{AB}) = (\lambda \mathbf{A})\mathbf{B}$$ and $(\mathbf{A} \mathbf{B})\lambda=\mathbf{A}(\mathbf{B}\lambda )$ Burada bir skalerdir. Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer matrisin girişlerinin halkasının merkezinde ise, tüm dördü de eşit olur. Çünkü bu durumda, tüm matrisleri için, Xλ}} olur. Dizin gösterimi sırasıyla şöyle olur:

$$\lambda \sum_k (A_{ik}B_{kj}) = \sum_k ( \lambda A_{ik} ) B_{kj} = \sum_k A_{ik} ( \lambda B_{kj} )$$

$$\sum_k (A_{ik}B_{kj}) \lambda = \sum_k ( A_{ik} \lambda ) B_{kj} = \sum_k A_{ik} ( B_{kj} \lambda )$$

4. Transpoze:

$$(\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T}$$ Burada , transpozeyi ifade eder.

Dizi gösteriminde:

$$\begin{align} \left[(\mathbf{AB})^\mathrm{T}\right]{ij}&=\left(\mathbf{AB}\right){ji}\ &=\sum_k\left(\mathbf{A}\right){jk}\left(\mathbf{B}\right){ki}\ &=\sum_k\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right){kj}\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right){ik}\ &=\sum_k\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right){ik}\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right){kj}\ &=\left[\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)\right]_{ij} \end{align}$$

5. Karmaşık eşlenik: Eğer ve karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;

$$(\mathbf{AB})^\star = \mathbf{A}^\star\mathbf{B}^\star$$ olur. Burada , bir matrisin karmaşık eşleniğini ifade eder.

Dizi gösteriminde:

$$\begin{align} \left[(\mathbf{AB})^\star\right]{ij}&=\left[\sum_k\left(\mathbf{A}\right){ik}\left(\mathbf{B}\right){kj}\right]^\star\ &=\sum_k\left(\mathbf{A}\right)^\star{ik}\left(\mathbf{B}\right)^\star_{kj}\ &=\sum_k\left(\mathbf{A}^\star\right){ik}\left(\mathbf{B}^\star\right){kj}\ &=\left(\mathbf{A}^\star\mathbf{B}^\star\right)_{ij} \end{align}$$

6. Eşlenik transpozesi:

Eğer ve karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;

$$(\mathbf{AB})^\dagger = \mathbf{B}^\dagger\mathbf{A}^\dagger$$

Burada , bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.

Dizi gösteriminde:

$$\begin{align} \left[(\mathbf{AB})^\dagger\right]{ij} &=\left[\left(\mathbf{AB}\right)^\star\right]{ji}\ &=\sum_k\left(\mathbf{A}^\star\right){jk}\left(\mathbf{B}^\star\right){ki}\ &=\sum_k\left(\mathbf{A}^\dagger\right){kj}\left(\mathbf{B}^\dagger\right){ik}\ &=\sum_k\left(\mathbf{B}^\dagger\right){ik}\left(\mathbf{A}^\dagger\right){kj}\ &=\left[\left(\mathbf{A}^\dagger\right)\left(\mathbf{B}^\dagger\right)\right]_{ij} \end{align}$$

7. İlkköşegen toplamı: çarpımının ilkköşegen toplamı ve matrislerinin büyüklüğünden bağımsızdır:

$$\mathrm{tr}(\mathbf{AB}) = \mathrm{tr}(\mathbf{BA})$$

Dizi gösteriminde:

$$\begin{align} \mathrm{tr}(\mathbf{AB}) &=\sum_i \sum_k A_{ik}B_{ki}\ &=\sum_k\sum_i B_{ki}A_{ik}\ &=\mathrm{tr}(\mathbf{BA}) \end{align}$$